0133-Utilizando o Solver para determinar raízes simultaneamente

Como vimos em 0126 , o Solver fornece resultados compatíveis com métodos numéricos clássicos na determinação de raízes de funções.
Tendo isto em vista resolvi investigar se poderíamos utilizar o Solver para a determinação de todas as raízes de forma simultânea, ou seja, calculá-las em conjunto ao invés de uma por vez.
A tabela a seguir foi montada para modelagem do problema. A coluna com rótulo x, representa as células nas quais serão calculadas as raízes. Os valores de xi representam os valores mínimos dos intervalos dentro dos quais as raízes serão pesquisadas e os valores xs representam os valores máximos destes intervalos. F(x) representa o resultado da função calculada no ponto x.
À direita da tabela, temos o gráfico no qual é possível entender o por quê dos valores escolhidos para xi e xs.
Destacamos também as células:
Tolerância: valor máximo admissível como erro no cálculo da raiz. (Para uma raiz da função f(x) deve ser igual a zero (f(x)=0). No entanto, consideramos que haverá precisão suficiente quando o f(x) < 0,0001)
Teste: representa a função objetivo. Quando utilizamos o Solver, apenas uma célula deve ser definida como o resultado a ser alcançado. Definimos para este problema que a função objetivo será a raiz quadrada da soma dos quadrados das raízes. Desta forma, quanto menores os valores obtidos para f(x), mais próximos os valores de x estarão das raízes desejadas.

Os parâmetros para executar o solver serão:

Célula de Destino: $D$15

Igual a: Valor de: 0

Células variáveis: $A$4:$A$10

Submeter às restrições:

  • $A$4:$A$10<=$C$4:$C$10
  • $A$4:$A$10>=$B$4:$B$10
  • $A$4:$A$10<=$D$13

Eis a caixa de diálogo com os parâmetros acima inseridos:

Pressionando o botão Resolver, obtivemos:

Ou seja, o Solver não conseguiu calcular todas as raízes do intervalo [-10;10].

Observando os resultados fornecidos, percebemos que o problema foi o cálculo da raiz localizada no intervalo [-10;-9]. Nos demais pontos, os resultados, a princípio, são satisfatórios pois os valores de f(x) são da ordem de 10-6, o que satisfaz a tolerância imposta (10-4).

Solicitando que fossem restaurados os valores originais, redefinimos a estimativa de xi de -9 para -9,5, e ao invés de solicitar que $D$15 fosse zero, informamos que seu valor deve ser minizado. Em seguida, recalculamos o problema:

Desta vez, o Solver conseguiu encontrar uma solução dentro das condições impostas pelo problema.

Comentários:

  • O Solver pode ser utilizado como uma ferramenta para cálculo simultâneo de zeros de funções;
  • A definição adequada dos parâmetros de resolução (modelagem) é condição primordial para obter-se os resultados desejados;
  • Caso sua abordagem inicial não obtenha sucesso, revise a sua modelagem, identifique potenciais geradores de falhas, corrija as imperfeições e continue buscando a solução. Pequenos detalhes podem ser diferença entre o sucesso e o fracasso.

Acesse aqui o arquivo com este problema: Solver Múltiplas Raízes

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